История пирога очень интересна и увлекательна сама по себе. Знаете ли вы, например, что древние греки, как считается, были родоначальниками пирога, о чем свидетельствуют пьесы Аристофана (5 век до н.э.), где упоминаются сладости, в том числе маленькие пирожки с фруктовой начинкой? Я тоже не знал до сегодняшнего дня.
Но мы говорим не об этом, как бы вкусно это ни звучало.
Вместо этого мы углубимся в другую пищу, хотя она также имеет некоторые истоки в Древней Греции.
Да, дорогой читатель, мы исследуем захватывающее явление математической константы, алгоритм которой был разработан гениальным (и, возможно, злым) Архимедом около 250 года до нашей эры.
Хотя математика может и не вызвать у вас первоначального интереса, история и открытие этого уникального иррационального числа должны вас заинтересовать. А если нет ничего другого, то это может вернуть вас в старые школьные времена.
Подумайте об этом как о математическом мадлене.
Но сначала давайте разберемся, что же такое Пи.
Это любопытное число (о котором любят повторять зануды из числа мастеров памяти) первоначально определялось как отношение окружности круга к его диаметру. Другими словами, пи равно окружности, деленной на диаметр (π = c/d). И наоборот, окружность равна пи, умноженному на диаметр (c = πd). Независимо от того, насколько велик или мал круг, пи всегда будет одним и тем же числом.
Все еще следите за мной? Ну, сейчас будет еще хитрее.
π — иррациональное число, и нет, не такое, как у вашей свекрови. Это означает, что его никогда нельзя записать в виде дроби двух целых чисел, и оно не имеет конечного или повторяющегося десятичного разложения. По сути, точного значения не существует, так как число не заканчивается. Десятичное разложение π продолжается вечно, никогда не показывая никакой повторяющейся модели. Я повторю это еще раз, чтобы подчеркнуть — оно никогда не повторяется и продолжается вечно.
Дайте мне на мгновение осознать величину этого.
Анимация процесса разворачивания окружности диаметром 2, иллюстрирующая соотношение π.
Поскольку π иррационально, все, на что мы можем надеяться, — это получить все более и более точные десятичные приближения… и вот тут-то и возникает великолепное, хотя и ультработаническое соревнование по перечислению известных чисел.
Почему Пи? Почему не торт?
Хороший вопрос, дорогой читатель — я могу сказать, что вы голодны….. За знания. (waaa waaa)
Пи называется Пи, потому что 16-я буква греческого алфавита, π (Пи), была использована как сокращение греческого слова периферия (περιφέρεια), что означает окружность.
Это было достаточно просто! Теперь перейдем к истории этого маленького числа.
На самом деле число Пи уходит корнями далеко в прошлое, в Древнюю Грецию. На самом деле, несколько древних цивилизаций придумали довольно точные значения для π, включая египтян и вавилонян, оба в пределах одного процента от истинного значения.
В Вавилоне на глиняной табличке, датируемой 1900-1600 гг. до н.э., есть геометрическое утверждение, которое, по косвенным признакам, рассматривает π как 25/8 = 3,125. В Египте в папирусе Rhind Papyrus, датированном примерно 1650 годом до н.э., но скопированном с документа, датированного 1850 годом до н.э., есть формула для площади круга, которая рассматривает π как (16/9)2 ≈ 3,1605.
Есть даже библейский стих, в котором, по-видимому, пи было приближенным:
И сделал он расплавленное море, десять локтей от одного края до другого; оно было кругом, и высота его была пять локтей; и линия в тридцать локтей огибала его. — I Царств 7:23 (версия короля Иакова)
Затем, около 250 года до н.э., греческий математик Архимед создал первый в истории алгоритм для его расчета. Его система была настолько популярна, что доминировала в математике более 1000 лет, и в результате π иногда называют «константой Архимеда».
Около 150 года нашей эры греко-римский ученый Птолемей в своем «Альмагесте» дал значение π, равное 3,1416, которое он, возможно, получил от Архимеда или от Аполлония Пергского.
Гравюра с изображением коронованного Птолемея, которого ведет муза Астрономия, из «Маргариты Философии» Грегора Рейша, 1508 год.
Позже, в 480 году нашей эры, китайские математики использовали геометрические методы для приближения к семи цифрам, а индийские математики дошли до пяти в 5 веке нашей эры. Исторически первая точная формула для π, основанная на бесконечных рядах, появилась лишь спустя тысячелетие, когда в 14 веке в Индии был вновь открыт ряд Мадхавы-Лейбница.
Сегодня мы используем алгоритмы, основанные на идее бесконечных рядов из исчисления, а наши все более быстрые компьютеры позволяют нам находить триллионы цифр π.
И хотя вся эта история, несомненно, увлекательна, эти страницы посвящены грекам и римлянам! Поэтому давайте вернемся к Архимеду и его революционной методике.
Во-первых, если вы мало знаете об Архимеде, то вам следует это сделать… и не только потому, что он, скорее всего, был злым сверхразумом.
Архимед задумчивый» работы Фетти (1620)
Архимед родился в Сиракузах на острове Сицилия в 287 году до н.э. Архимед был греческим математиком, ученым, инженером-механиком и изобретателем, который считается одним из величайших математиков древнего мира. Среди его многочисленных эпитетов, он считается отцом простых машин, поскольку он ввел понятие рычага, составного шкива, а также изобретений, начиная от водяных часов и заканчивая знаменитым винтом Архимеда.
Он также разработал устройства для использования в военных действиях, такие как катапульта, железная рука и луч смерти. По сути, Архимед был одним из первых в мире математиков-физиков, чьи изобретения нашли реальное применение в физическом мире. (Существуют фантастические реконструкции этих жестоких творений. Например, здесь и здесь).
Поэтому не стоит удивляться, что такой ум был способен вычислить скромный круг!
Но как он это сделал?
Архимед использовал теорему Пифагора, чтобы найти площади двух многоугольников. Затем он вычислил площадь круга, исходя из площади правильного многоугольника, вписанного в круг, и площади правильного многоугольника, в который вписан круг. Многоугольники, нанесенные Архимедом на карту, дали верхнюю и нижнюю границы площади круга, и он вычислил, что число Пи находится между 3 1/7 и 3 10/71.
Wait…. что? Давайте пройдемся по этому вопросу еще раз, но с картинками.
По сути, Архимед заметил, что многоугольники, нарисованные внутри и снаружи круга, имеют периметры, близкие к окружности круга.
Как описано в книге Йорга Арндта и Кристофа Хаенеля «Pi Unleashed», Архимед начал с шестиугольников:
Начнем с круга, диаметр которого равен единице, так что, по определению, его окружность будет равна π. Используя некоторые основы геометрии и тригонометрии, Архимед заметил, что длина каждой из сторон вписанного синего шестиугольника будет равна 1/2, а длина сторон вписанного красного шестиугольника будет равна 1/√3.Периметр вписанного синего шестиугольника должен быть меньше окружности круга, так как шестиугольник полностью помещается внутри круга. Все шесть сторон шестиугольника имеют длину 1/2, поэтому периметр равен 6 × 1/2 = 3.Аналогично, окружность круга должна быть меньше периметра вписанного красного шестиугольника, а этот периметр равен 6 × 1/√3, то есть примерно 3,46.Это дает нам неравенство 3
Если я еще не потерял вас, это революционный метод, который фундаментально отличается от предыдущих приближений.
Ранее число вычислялось очень приблизительно, обычно путем простого сравнения площади или периметра определенного многоугольника с окружностью.
Метод Архимеда был новым, так как он представлял собой итерационный процесс, когда можно получить более точное приближение, повторяя процесс, используя предыдущий расчет числа Пи для получения нового, более правильного числа.
Сейчас некоторые считают празднование числа Пи и его вечного, никогда не повторяющегося десятичного числа чрезмерно раздутой вечеринкой. Но мы в «Классической мудрости» не согласны с этим. Любой день, который заставляет людей остановиться и оценить математику и ее чудеса, безусловно, заслуживает внимания… и я думаю, мы все знаем, что покойный, великий Стивен Хокинг согласился бы с этим, да упокоится он с миром.